ACTIVIDAD 9 (SEMANA DEL 25 AL 29 OCT)

 

SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORES DE UN TRIANGULO Y DE UN CUADRILATERO

ACTIVIDAD 9, SEMANA DEL 25 AL 29 DE OCTUBRE

En un triángulo existen dos tipos de ángulos:

 

 

1Los ángulos interiores (lo forman dos lados).

2Los ángulos exteriores (lo forman un lado y su prolongación).

 

Propiedades de los ángulos de triángulo

 

1 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

 

2  El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

 

3   Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, es decir, suman 180º.

 Un cuadrado tiene cuatro ángulos rectos. Cada ángulo recto mide 90∘90∘ . Podemos sumar el total de los ángulos internos de un cuadrado y ver cómo esto se relaciona con todos los cuadriláteros.

90+90+90+90=360∘90+90+90+90=360∘

La suma de los ángulos internos de todos los cuadriláteros es

360∘

¿Cómo podemos usar esta información para encontrar la medida de los ángulos desconocidos?

[Figure 2]

Podemos escribir una ecuación utilizando la variable y las medidas dadas y encontrar la medida del ángulo que falta.

80 +75+105 +X = 360

260 +X =360

360 – 260 = X

100 = X  o X =100

El ángulo desconocido es igual a 100∘

Tienes que saber un par de cosas para responder esta pregunta.

Primero, un cuadrilátero tiene cuatro lados, así que tiene cuatro ángulos.

Luego, congruente significa que las medidas de estos ángulos son iguales.

La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es igual a 360 grados.

Los ángulos son ángulos rectos o ángulos de 90 grados.

FACTOR INVERSO

El lado que mide dos centímetros de la figura 1 es correspondiente con el lado que mide 6 centímetros de la figura 2, y el lado de 3 centímetros con el de 9 centímetros.

Por lo tanto, el factor de escala es 3, y como son figuras a escala, es el mismo factor que se usa para determinar la medida de todos los lados correspondientes entre la figura 1 y la figura 2. Por ello se llama factor de escala.

Ahora analiza lo qué sucede entre la figura 2 y la figura 3.

Factor de escala de la figura 3 a la figura 3:

Como puedes observar, el lado de 6 centímetros de la figura 2, es correspondiente al lado que mide 3 centímetros en la figura 3.

Por lo tanto, el factor de escala es un medio, lo que significa, multiplicar la medida del lado de la figura 2 por un medio, o bien dividir entre dos la medida de los lados de la figura 2, para obtener la medida de los lados de la figura 3.

Reflexiona: ¿cuál es el factor que permite pasar de la figura 2 a la figura 1?

El factor de escala para pasar de la figura 1 a la figura 2, es tres, es decir, se multiplica por tres la medida de algunos lados de la figura 1 para obtener la medida de sus lados homólogos de la figura 2.

Antes de continuar, considera las características de las figuras semejantes, como lo son la familia de cuadriláteros que estás examinando:

“A los lados que se corresponden se les llaman lados homólogos, es decir, son los lados que ocupan el mismo lugar en otra u otras figuras”.

Ahora, debes encontrar el factor que hace que ese proceso de escala se revierta, y esto lo lograrás conociendo el factor inverso, y retomando el planteamiento inicial.

¿Qué es el factor inverso?

Registra tus ideas o conceptos. A lo largo de la sesión podrás confirmarlos o resignificarlos.

El factor inverso de un número es aquel que, al multiplicarse por dicho número, tiene como producto la unidad.

En este caso, el factor inverso de 3, es un tercio, ya que 3 por 1/3 es igual a 1.

Ahora comprueba que 1/3 es el factor inverso que al multiplicar la medida del lado de 9 centímetros de la figura 2 es igual a tres.

Entonces, tres es la medida del lado correspondiente u homólogo de la figura 1.

El factor inverso de un número también es conocido como recíproco, dos números son recíprocos si al multiplicarse uno por el otro, el producto es igual a uno.

De esta manera, el segundo factor de escala, el cual permite pasar de la figura dos a la figura tres, es un medio y su recíproco es dos, y el resultado de multiplicarse entre ellos es igual a uno.

Ahora, analiza la siguiente imagen y realiza lo siguiente:

Aplicando los factores inversos respectivos, encuentra la medida faltante de la figura 2 a partir de la figura 3. Considera utilizar el factor inverso o recíproco del factor de escala.

Registra tu resultado. Posteriormente, podrás corroborar o ajustar tu respuesta. Es importante que trates de realizar las actividades, pues ello te permitirá acceder al conocimiento matemático y entender mejor el desarrollo de la sesión.

El factor de escala es un medio, por lo tanto, debes multiplicar la medida de la figura 3, (7.5), por el factor inverso del factor de escala, es decir, por dos.

¿Cuánto mide el valor del lado faltante de la figura 2?

Mide 15 centímetros.

Ahora resuelve lo que falta para concluir el desafío.

Calcula la medida del lado faltante de la figura 1, desde la figura 3. Para ello considera que para pasar de la figura 1 a la figura 2 el factor de escala es (tres) y para ir de la figura 2 a la 3, el factor de escala es (un medio).

Como la intención es pasar de la figura 3 a la 1, debes utilizar los factores inversos.

En este caso, el factor inverso (dos), para ir de la figura 3 a la 2, y el factor inverso (un tercio) para pasar de la figura 2 a la 1, por lo tanto, multiplica ambos factores para encontrar el nuevo factor inverso que te ayudará a pasar desde la figura 3 a la 1, en este caso:

Ahora debes multiplicar la medida de 9 centímetros del lado inferior de la figura 3 por el factor inverso, (dos tercios).

Para multiplicar un entero por una fracción, debes colocar al entero, uno como denominador, y posteriormente realizar la multiplicación de numeradores y denominadores, de la siguiente manera:

Se obtiene como resultado 6, que es la medida del lado faltante de la figura 1.

Ahora, analiza el siguiente planteamiento.

Planteamiento 2

Observa la siguiente imagen. Del lado izquierdo se encuentra un dibujo con sus respectivas acotaciones, y del lado derecho, la medida en centímetros de cada uno de sus lados.

Determina la longitud de cada lado cuando se le aplica un factor de escala dado. Para el primer caso, considera el factor de escala, tres medios.

Para obtener la longitud de cada lado debes multiplicar cada uno de ellos por el factor de escala proporcionado, de esta manera, tienes lo siguiente:

La medida del lado que es igual a 10 centímetros se multiplica por el factor de escala tres medios, como se indica a continuación:

Por lo tanto, la medida del lado “a”, afectada por el factor de escala tres medios, es igual al 15 cm.

Siguiendo el mismo procedimiento, obtendrás la medida de los lados “b” y “c”.

Para b, establece la multiplicación 6 por tres medios:

El lado “b” en la figura a escala es igual a 9 centímetros.

Continúa ahora con el lado “c”. Al realizar la multiplicación de la medida del lado “c” que es igual a tres, por el factor de escala tres medios, obtienes:

El lado “c” en la figura a escala es igual a 4.5 centímetros.

Ahora, encuentra las medidas de los lados faltantes, aplica el procedimiento planteado. Cuando termines, verifica tus resultados.

Al aplicar el factor de escala 3/2 a las medidas de los lados, tienes que:

Todas las medidas son proporcionales a las medidas del dibujo original, por ello, son dibujos a escala o figuras semejantes. Es importante hacer los cálculos y seguir el procedimiento, pero es más relevante comprender las relaciones y significados entre los números y las operaciones que se emplean en la resolución de los planteamientos.

Un procedimiento mecanizado es útil, pero comprenderlo es una herramienta poderosa para activar tu creatividad y tu pensamiento matemático.

NOTA: REALIZA LOS EJERCICIOS DE LAS PAGINAS:35 A LA 38 DEL COMPLEMENTO MATEMATICO.